помойка, по мойка, помой ка или помой-ка?
Из четырёх перечисленных вариантов слов только два имеют место существовать в нашем языке русском.
Естественно, все знают, что помойка -- это место для мусора и помоев. А "помои", по своей сути, -- это грязная вода после мытья посуды. Её выливали обычно в помойную яму.
Сейчас как будто бы не существует помоек, есть мусорные баки, и это слово часто употребляется в переносном смысле. Не буду приводить примеры, уж больно неприятная тема. Да и знакома каждому.
Само имя существительное по своему происхождению связано с глаголом "мыть". От него-то и образовано существительное при помощи приставки "по" и суффикса "к": мыть => мойка => помойка.
Приставки пишутся слитно: между ними и остальной частью слова невозможно вставить какое- нибудь определение.
Так что правильно писать имя существительное помойка в одно слово, слитно.
А глаголы вообще не дружат с приставками, у них могут быть только приставки, придающие глаголу новое знание.
У того же глагола "мыть" есть приставочный напарник -- глагол помыть, от которого легко образовать форму повелительного наклонения -- помой, например: "Помой, пожалуйста, свои ботинки".
Чтобы смягчить сказанное в приказном тоне, часто к глаголу в повелительной форме добавляется частица "ка",
а она всегда пишется через дефис, поэтому имеем еще одно слово в русском языке -- помой-ка.