Двигаться или двигатся пишется с мягким знаком или без мягкого знака, можно определить, если выяснить часть речи, к которой принадлежит это слово, и его грамматическую форму.
Следует осторожно двигаться в гололедицу.
Слово "двигаться" обозначает действие и отвечает на вопрос: что делать?
Значит, это глагол в неопределенной форме.
В его написании воспользуемся правилом орфографии:
в неопределенной форме глаголов пишется мягкий знак.
Понаблюдаем:
(Что делать?) петь, гулять, решать;
(что сделать?) отвлечь, сберечь, превозмочь.
Хотя форма глагола возвратная, на что укажет присутствие постфикса -ся, все равно пишем мягкий знак.
Правильно пишется слово "двигаться" с мягким знаком как глагол в неопределенной форме.
Если же этот глагол находится в форме 3 лица единственного числа настоящего времени, то к нему зададим вопрос: что делает? В этой форме в конечном сочетании -тся мягкий знак не пишем:
Она двигается с природной грацией.