"По новогоднему небу засияли вспышками огни фейерверков."
"Огни фейерверков засияли по-новогоднему светло, празднично и ярко, осветив вспышками ночное небо."
Здесь два примера и оба с верным написанием.
Слово "новогодний" с предлогом "по" или наречие с приставкой "по-" и суффиксом "-ему" - оба варианта написания имеют место быть в русском языке, все зависит от контекста.
"По новогоднему обычаю, в гостиной всегда торжественно украшена пышная, свежая, только что из леса попавшая сюда, праздничная елка."
В данном примере имеем предлог "по" и прилагательное "новогодний", употребляемое в дательном падеже (по чему? по новогоднему обычаю).
Или:
"Мы долго бродили по новогоднему, свежевыпавшему, пушистому снегу."
"По-новогоднему чудесным и ярким был салют, как каждый раз в этот замечательный праздник."
"Мы заняли свои места за роскошно уставленным, по-новогоднему разнообразным праздничным столом."
"Праздничные огни и вспышки фейерверков были по-новогоднему красивыми".
Здесь имеет место написание через дефис, как наречие ("как"? - "по-новогоднему чудесным" или "по-новогоднему разнообразным, "по-новогоднему красивыми").