Так отвечают специалисты сайта "Грамота.ру". Поэтому пишем Люсечка, Люсенька.
Правильно будет писать это имя через "е". Тасенька или Тасечка будет правильно. Остальные ласкательно и ласкательно-уменьшительные формы имяени Тася:
В именах всегда используйте суффикс "-еньк-" или "-ечк-"
Для имени Николай, в сокращённой форме Коля, в уменьшительно-ласкательной форме имя преобразуется с помощью применения суффиксов -еньк, и -ечк.
И таким образом получим следующие имена:
Коленька, и Колечка.
Обратившись как всегда к справочным материалам, найдём все уменьшительно-ласкательные формы имени Таисия:
Тая, Таечка, Таенька, Таюшка, Таюша, Таюся, Таюня, Тася, Тасенька, Тасечка, и даже Тайка.
Из всех перечисленных в вопросе имён можно выбрать только имя с суффиксом -е-еньк, то есть Таисенька.Но этого имени в справочном материале нет.
Русское имя Егор по-английски писать можно в двух вариантах - Yegor и Egor, но как правильно сказать трудно.
Например, губернатор Егор Кузнецов по-английски пишется governor Yegor Kuznetsov,
а Фамилия поэта Есенина пишется как Yesenin. Имя Евгений - Yevgeny (Yevgeniy).
Хотя пишутся же имена: Елена - Elena, Ева - Eva, значит и Егор можно написать Egor.
В официальных публикациях Ельцин Борис Николаевич пишут - Yeltsin Boris Nikolaevich.
Но в английском языке нет имени Егор, есть Георгий - George, Гоша - Gosha, поэтому как напишите так и будет правильно или как вам напишут в загранпаспорте так и будет правильно.