Приведенные глагол и имя существительное образованы при помощи приставки от бесприставочного глагола.
Вот образовательная последовательная цепочка: бежать => раз/бежаться => раз/бег.
Из нее отчётливо видно, что в заданных словах присутствует приставка, предшествующая звонкому согласному "б" в корне этих слов.
И далее необходимо просто вспомнить простое правило орфографическое, которое гласит, что приставка оканчивается на "з", когда стоит перед звонкой корневой согласной.
Следовательно, правильно писать "разбегаться" и "разбег".
Примеров в подтверждение можно привести достаточно много, вот несколько:
разгуляться и разгул, разработать и разработка, размокать и размокание, разгрузиться и разгрузка.