Хозяйка жарила картошку, зазвонил телефон, она отвлеклась -- картошка пригорела.
Заметьте: не сгорела, а начала подгорать, немножко, чуть-чуть подгорела картошечка, кушать ее можно
(некоторые именно такую поджаристую и предпочитают).
Значит, приставка показывает, что действие было совершено не полностью, не до конца, то есть приставка придает слову значение неполноты действия.
И с таким значением неполноты действия употребляется приставка при-.
Слово с такой приставкой можно заменить тем же словом, но без приставки, а вместо нее добавить другие слова или сочетания, например, при/горела = начала гореть, немного горела, совсем чуть-чуть горела.
Ни о каком значении присоединения (к дну сковородки, что ли?) не идет и речи, совсем другой процесс происходит.