Как Вы в первом варианте написали - так и правильно пишется, т.е. незыблемый.
Слово это сейчас очень редко употребляется. Его можно встретить разве что в старых литературных произведениях и стихах. Например у Лермонтова в поэме "Мцыри": "Седой, незыблемый Кавказ..."
В наше время оно заменяется такими синонимами как: "непоколебимый", "надёжный", "устойчивый", "твёрдый", "прочный". А с течением времени и стремлению современной лексики к сокращениям/упрощениям, не удивлюсь если эти слова заменятся, например, такими словами как "крепота" или "стоямба".)
Проверочного слова к нему нет, если задаться вопросом правописания его суффикса "ем" или "им". В этом случае, видимо, нужно просто запомнить, как правильно оно пишется. Ну а по поводу приставки "не", то согласно правилам правописания частиц "не": пишется слитно, если слово без "не" не употребляется (например так не говорится - "зыблемый") и если можно подобрать синоним без "не" (например - "устойчивый").