Чтобы узнать, как пишется слово: "моешься" или "моешся", нужно определить часть речи и вспомнить правило.
Моешься - глагол 1-го спряжения, несовершенного вида, непереходный, в изъявительном наклонении, в единственном числе, во 2-ом лице, в настоящем времени, образован от глагола неопределённой формы "мыться", отвечает на вопрос "что делаешь?".
Правило русского языка гласит о том, что мягкий знак пишется после шипящей "ш" на конце глаголов 2-го лица единственного числа. Также мягкий знак сохраняется перед постфиксом (словообразовательным суффиксом) "-ся".
Примеры глаголов 2-го лица единсивенного числа, отвечающих на вопрос "что делаешь?": слышишь, ешь, помогаешь, участвуешь, гордишься, пользуешься, удивляешь, отходишь, перешагиваешь, подпрыгиваешь.
Примеры глаголов 2-го лица единственного числа, отвечающих на вопрос "что сделаешь?": подключишь, подскажешь, повернёшь, раскрутишь, потратишь, поспешишь, рассмешишь, уговоришь, назначишь, искупаешься.
Следовательно, глагол "моешься" пишется с мягким знаком.