Глаголы воспрещать и запрещать по своему смыслу не различаются.
Оба глагола обозначают одно и то же: они не разрешают делать что-нибудь.
Однако эти глаголы различаются стилистически. Если глагол воспрещать несет в себе более книжный, даже офи*иальный оттенок, то глагол запрещать имеет стилистически нейтральный характер.
И на такие оттеночные характеристики этих глаголов влияют приставки.
Приставка вос- словам придает некоторую возвышенность, например, "воспевать, воспылать".
Приставка за- не обладает такой способностью придавать словам, к которым она присоединяется, оттенок возвышенности.
Слова с приставкой за- стилистически нейтральны.
Ну подумайте. Разве вы скажите своему ребенку: "Я воспрещаю тебе с этим мальчиком дружить"? Нет, конечно.
Здесь уместно употребить глагол запрещаю...
На табличке же в учреждении, поликлинике и т.п. уместнее написать более офи*иальное "Посторонним вход воспрещен",
хотя и надпись "Посторонним вход запрещен" не будет считаться ошибкой или безграмотностью.