Чтобы узнать, как правильно пишется беСпробудный или беЗпробудный, выясню морфемный состав этого слова:
бес-про-буд-н-ый - приставка/приставка/<wbr />корень/суффикс/оконча<wbr />ние.
Приставка бес- находится перед глухим согласным звуком [п].
В написании приставок, заканчивающимися согласными з/с, перед последующими звонкими согласными (б, в, г, д, ж, з, л, м, н, р) в приставке выберем букву "з", а перед глухими согласными (к, п, с, т, ф, х, ч, ш, щ) - букву "с":
безмолвный лес;
безрадостный день;
беспорядочная пальба;
бесшумная ходьба.
В слове "беспробудный" перед глухим согласным "п" правильно пишется буква "с".
Беспробудный сон охватил зимний лес.