Приставка "бес" пишется в том случае, если корень слова начинается с глухой согласной (ч, ш, ц, х, п, с, ф, щ, т, к).
Примеры: бестолковый, беспокойство, беспощадный, беспомощный, бесполезный, бесконечность.
Ну а приставку "без" пишут, если корень начинается со звонкой согласной (г, д, в, б, р, л, м, н, й, ж, з).
Примеры: безропотно, безработный, безмерный, безногий, безводный.
В слове "бесперебойный" корень начинается с глухой согласной, следовательно, нужно писать приставку "бес".
Правильный ответ: бесперебойный.