Слово "искренний" с частицей "не" можно написать как слитно, так и раздельно. Это будет зависеть от построения предложения. Чтобы точно определиться, слитно писать или раздельно, стоит вспомнить правило, регламентирующее написание частицы "не" с прилагательными. Слово "неискренний" как раз является прилагательным (отвечает на вопрос "какой?").
"Не" с прилагательными стоит писать слитно, если в предложении нет противопоставления с союзом "а". В таких предложениях слово будет иметь утвердительный оттенок значения. Слово можно будет заменить синонимами. В качестве синонимов к слову "неискренний" могут подойти следующие: лживый, фальшивый, поддельный, притворный, лицемерный.
Неискренний комплимент вызвал только раздражение.
Неискренний ответ Андрея совсем огорчил его жену.
"Не" с прилагательными стоит писать раздельно, если имеется противопоставление с союзом "а". В тех предложениях, в которых отрицание усиливается такими словами, как "вовсе не", "ничуть не", "совсем не", "нисколько не", "не" с прилагательным также стоит написать раздельно.
Предложение начальника мне показалось вовсе не искренним, хотя он старался убедить меня в обратном.
Ответ подруги ей показался не искренним, а каким-то надуманным, фальшивым.
Мой ответ был вовсе не искренний, я просто побоялась сказать правду.