Чтобы проверить гласную Е в корне слова, нужно подобрать однокоренное слово с требуемой гласной в корне слова, но стоящей под ударением. В данном случае таким словом является прилагательное бЕлый.
Существительное БЕЛЬЁ и прилагательное БЕЛЫЙ связаны между собой этимологически.
(Если хочется узнать подробней об этой связи, предлагаю посмотреть мой ответ.)
Но в слове белЬё у кого-то может вызывать сомнение и написание мягкого знака внутри слова.
Действительно, почему, в соответствии с каким правилом русского языка пишется в этом слове мягкий знак?
Оказывается, есть правило!
Оно гласит, что перед гласными Е, Ё, И, Ю, Я в корне слова пишется разделительный мягкий знак.
Например, вьюга, соловьи, зверьё, а также слово БЕЛЬЁ.