Преследовать или приследовать как правильно пишется это слово, с буквой "е" или "и", можно понять, если заглянуть в орфографический словарь.
Если поставить ударение, то голосом выделяется второй гласный звук корня:
преслЕд-ова-ть - корень/суффикс/оконч<wbr />ание.
По этой причине неясно слышится первый гласный.
Этимологически в составе этого слова имеется смысловая приставка пре-, которая вносит в значение глагола "преследовать" прямое лексическое значение "идти за кем-то след в след, догоняя его" В современном русском языке приставка вошла в состав корня и это слово чаще имеет переносный смысл "подвергать наказанию".
Обычно безударный гласный проверяют ударением с помощью родственных слов. Подберу однокоренные слова в надежде,что ударение прояснит первый безударный гласный:
преслЕдователь, преслЕдовательница, преслЕдование.
Как видим, во всех этих родственных словах все тот гласный является безударным.
"Преследовать" - это словарное слово в корне которого правильно пишется буква "е", о чем справимся в словаре.
Охотник с собакой начал преследовать лисицу.