Слово "завтрашний" образовано от слова "завтра", поэтому и писать его следует именно так: завтрАшний. По аналогии можно образовать и другие слова с суффиксом -шн-, например, день может быть сегоднЯшним, вчерАшним и завтрАшним.
Таким образом, в фразе "начинаем с завтрашнего дня"- обсуждаемое в вопросе слово, написано верно.
Хотя, у кого-то и правописание слова "завтра" может вызвать сомнения: "завтрА" или "завтрО"?
Необходимо просто запомнить правописание слова "завтра", являющегося наречием и не изменяющегося по падежам. Оно пишется с окончанием на букву "А", ударение в этом слове приходится на первый слог, а само слово обозначает день следующий за "утром" следующего дня.
Рассуждения о правописании слова можно закончить логической головоломкой "если бы вчерашний день был завтрашним"...