Имя прилагательное "соловьиный" может сочетаться с именами существительными (соловьиный свист, соловьиная трель) не только в начальной форме, но и в различных падежных формах с предлогами. Можно употребить это прилагательное и в дательном падеже с предлогом "по" -- по соловьиному.
Например.
Вернувшись из экспедиции, Варвара весь вечер сидела в саду: она соскучилась по цветам в саду, по соловьиному пению.
Это выделенное сочетание прилагательного с существительным, употребленном с предлогом "по" пишется в три слова. между предлогом и прилагательным можно дополнительно вставить и другое слово (по красивому соловьиному) или же переставить местами это прилагательное с определяемым существительным (по пению соловьиному), что не изменит не только смысла, но и формы целого предложения.
Это есть свидетельство того, что такое сочетание пишется раздельно (в два слова).
Однако существует в современном русском языке способ образования наречий от основ имен прилагательных при помощи специальных суффиксов и приставок. Это наиболее продуктивный способ образования наречий.
Образованные при помощи суффикса "-ому", совпадающего с окончанием прилагательного в дательном падеже, и приставки "по" пишутся через дефис. В этом случае между приставкой и прилагательным невозможно вставить никакое другое слово, не изменив при этом его значения.
Иннокентий научился свистеть по-соловьиному и вечерами, сидя на крыльце дачи, перекликался с пением соловья.