У меня всегда вызывает уважение грамотный человек, а встреча с безграмотным приводит меня в уныние.
Выделенные слова отвечают на вопрос какой? и обозначают признак предмета. Это прилагательные-антонимы.
Вот словообразовательная цепочка: грамота => грамот/ный => без/грамотный, показывающая, что заданное прилагательное образуется от существительного грамота.
Новое прилагательное безграмотный образуется при помощи приставки, поэтому и пишется слитно.
Одна согласная м пишется потому, что мотивирующим словом является существительное грамота с одной м, которая и остается в корне однокоренного прилагательного (видно из приведенной выше цепочки).
Здесь не следует путать слово грамота с другим словом грамматика, от которого можно образовать однокоренное прилагательное грамматический (признак, строй речи).
Слова грамота и грамматика -- очень старые заимствованные, пришли в русский язык в разное время и разными путями (был вопрос и ответы на эту тему), вот и сложилось все так, что эти слова пишутся по-разному.
Главное здесь -- понять, от какого из этих существительных образованы другие слова, что обычно легко определяется в контексте или в словосочетаниях.
Никита -- безграмотный человек, он совсем не знает грамматических правил (то есть правил грамматики) .
Заданное прилагательное связано по своему лексическому значению с существительным грамота, поэтому и пишется с одним м.