"Вы где бУдете проводить свой отпуск в этом году? А друг бУдет с Вами путешествовать?"
Употребленный в этих предложениях в будущем времени глагол БЫТЬ необычный глагол, даже своеобразный.
Во-первых, от него в нашем языке еще сохранились употребительные, хотя и редко, такие формы третьего лица, как есть (число единственное) и суть (множественное).
Во-вторых, при спряжении формы этого глагола образуются от другого корня: буду, будешь, будет, будем, будете.
Проверить по окончанию неопределенной формы не получается, необходимо просто усвоить, что односложные глаголы пишутся с окончаниями первого спряжения.
Например, глаголы рыть, ныть, выть, мыть.
Итак, глагол быть относится к первому спряжению, поэтому и писать следует в личных окончаниях безударных гласную е. Можно также ориентироваться на окончание указанных глаголов в 3-м лице числа множественного -- -УТ (-ЮТ).
Если имеется такое окончание, то ему соответствуют личные окончания с гласной е.