Думаю, что в приведенных словосочетаниях речь идет о существительных ОТ СОСНЫ и У ДОСКИ. Падеж определяется довольно легко, если вспомнить, что предлоги ОТ и У употребляются только с родительным падежом. Если не помнится, то определить падеж можно, просто поставив падежные вопросы.
"От ЧЕГО?" -- от сосны и "У ЧЕГО?" -- у доски.
Итак, ответ на первый вопрос таков: эти имена существительные стоят в родительном падеже.
Переходим ко второму вопросу.
ТЕНЬ ОТ СОСНЫ. В этом словосочетании налицо признак, указывающий на то, что предмет обладает определенной внешней деталью. Тень КАКАЯ? или ЧЬЯ? -- от сосны. Указывается признак предмета, то есть это определение. Более того, это несогласованное определение, так как оно выражено именем существительным в косвенном падеже с предлогом.
К тому же слово от сосны относится к существительному, то есть **определяет ** существительное.
Если бы предложение было построено по-другому, например, "тень на полянке появилась от сосны", то от сосны явно было бы дополнением, так как относится к глаголу, вопрос исходит от глагола: "появилась ОТ ЧЕГО?" -- "от сосны". Определение не может относиться к глаголу.
Словосочетание СТОЯТЬ У ДОСКИ ни у кого не вызвало сомнений. Тут все предельно просто. Вопрос от глагола "стоять ГДЕ?" определяет обстоятельство места.
Так что Сережа прав, правда, с небольшим уточнением, что определение несогласованное. В русском языке это важная деталь.