Чтобы выбрать правильный вариант написания слова поссорились, установим его морфемный состав:
по-ссор-и-л-и-сь - приставка/корень/суффикс/суффикс/окончание/постфикс.
А теперь, поставив ударение на корневой гласный о, увидим, что предыдущий гласный приставки и последующий гласный суффикса находятся в слабой позиции, искажаются при произношении, отчего возникает сомнение в их написании.
Начнем с приставки. Приставка по- в безударном поожении пишется с гласным о, что может подтвердить слово с ударной приставкой:
по-могать - по-мощь.
Буква а пишется только в ударной архаичной приставке па- в словах:
падчерица, пасыной, паводок, пагуба.
В корне пишется двойной согласный сс, что просто запомним.
Глагол "поссориться" пишется с безударным суффиксом и, как и ряд аналогичных слов второго спряжения:
клеить, мерить, мучить, внемлить.