Эта теорема из теории множеств, и в более строгой формулировке она выглядит так: невозможно отобразить непрерывное множество само в себя так, чтобы по крайней мере одна точка не осталась на месте.
Отображение в теории множеств есть операция, аналогичная понятию функции в "обычной математике", когда одному числу (аргументу) ставится в соответствие другое число (функция от этого аргумента). Вообще говоря, можно рассматривать функции и от нескольких переменных, да и само значение функции не обязано быть одним-единственным числом, это тоже может быть "несколько переменных" - например, точка в пространстве, задаваемая своими координатами. Поэтому корректнее говорить о функции как правиле, которое одному элементу какого-то множества ставит в соответствие другой элемент какого-то множества. Не обязательно того же самого, но как частный случай можно отображать множество само на себя, то есть все "значения" функции принадлежат тому же множеству, что и все значения аргумента.
Если множество дискретное, то "причесать ежа" можно. Для этого достаточно просто "сдвинуть" элементы множества на один шаг, то есть каждому элементу N поставить в соответствие элемент N+1. То есть настоящего ежа, у которого счётное количество иголок ("счётное множество" - это как раз такое, всем элементам которого можно присвоить свой порядковый номер), причесать - в терминах этой теоремы - можно.
(Офф-топик: счётное множество не обязательно конечное. Множество натуральных чисел счётное - каждое имеет свой собственный номер, - но бесконечное.)
А вот если взять "сферического ежа" с непрерывным множеством иголок (то есть таким множеством, перенумеровать элементы которого не получится; пример - множество всех вещественных чисел), то мало того, что у него автоматом становится бесконечно много иголок, но для него натурально действует эта теорема. При причёсывании каждая иголка, или каждый волосок, начинается где-то на поверхности ежа и на ней же заканчивается - это и есть "отображение самого на себя". И вот для непрерывного множества иголок таки да, обязательно найдётся одна, которая будет стоять торчком, то есть отобразится сама в себя (= точки начала и конца этой иголки совпадают).
Доказательство этой теоремы хоть и занимает несколько строчек, требует понимания довольно специфических вещей из теории множеств, так что лучше принять это на веру...
Эта теорема может быть применена не только к ежу. Отображение сферической поверхности само на себя - это ещё и ветер. Ну натурально, ветер можно себе представить как отображение одной точки (взятой за исходную) в другую (ту, по направлению к которой он дует). Причём вполне очевидно, что множество всех точек земной поверхности - непрерывное (континуальное). И вот в силу оной теоремы должна быть по крайней мере одна точка, где ветра нет. Око тайфуна.
