Суффикс -ишк- имеет значение уменьшительно-ласкательное, часто с оттенком пренебрежительности.
При помощи этого суффикса образуются однокоренные существительные всех трех родов.
А вопрос об окончании в таких существительных довольно прост: есть ведь правило, которое дается в школьной программе. Достаточно вспомнить это правило, но прежде необходимо найти исходное существительное.
Исходным (мотивирующим) для заданного является существительное пальто.
Оно среднего рода. В полном соответствии с правилом все существительные среднего рода (без исключения) имеют после суффикса -ишк- (-ышк-) в начальной форме (падеж именительный, число единственное) окончание -о, например: перо - перышко, крыло - крылышко, сердце - сердчишко, болото - болотишко.
Также и пальтишко в начальной форме пишется с окончанием -о. Но оно склоняется, и при склонении имеет в падеже винительном тоже окончание -о, а вот в родительном пишется окончание -а.
Девочка выросла уже из этого пальтишка, и мамой было обещано ей новое красивое пальтишко.