"На бегу" является наречием или же наречным сочетанием, сочетанием предлога с существительным, отвечает на вопрос (как?) на бегу.
Как же пишется правильно, раздельно "на бегу" или слитно "набегу"?
Написание таких наречных сочетаний надо просто запомнить, так как нет в русском языке под них правила и единственный способ - это запомнить, предварительно сверившись с орфографическим словарем.
Пишем правильно раздельно - на бегу, также, как и подобные им сочетания - без оглядки, без устали, в стельку, с разбегу, до отвала...
Он все делал на бегу: ел, читал, слушал музыку и поэтому везде всегда успевал.
Есть, правда, другой вариант, который встречается в русском языке намного реже, это, когда "набегу" выступает в роли существительного с ударением на первый слог и пишется слитно.
Все поразились такому набегу саранчи на наши огороды.