Железнодорожный или железно-дорожный пишется слитно или через дефис, определим, если выясним часть речи и способ образования слова.
Железнодорожный путь уходит на восток.
Путь какой? железнодорожный.
Исследуемое слово обозначает признак предмета. Это имя прилагательное, имеющее сложный состав. Сложные слова пишутся слитно и через дефис. Выбор написания зависит от связи между его частями.
Прилагательное "железнодорожный" образовано методом сложения с помощью соединительной гласной "о" и суффикса -н- от словосочетания "железная дорога":
железн-о-дорож-н-ый.
В этом словосочетании существует подчинительная связь. Слово "дорога" главное, и его определяет зависимое слово "железная". Это можно понять, если зависимое слово можно поменять на другое, например:
полевая дорога;
шоссейная дорога;
песчаная дорогая.
Если прилагательное образовано от слов с подчинительной связью, то его неравноправные части пишутся слитно. Между ними невозможно вставить сочинительный союз "и".
Сравним со словом "шахматно-шашечный" (клуб). Клуб одновременно шахматный и шашечный. Между двумя составляющими частями сложного прилагательного легко вставляется сочинительный союз "и", что свидетельствует о равноправном положении его частей, то есть о сочинительной синтаксической связи между ними и в итоге о дефисном написании этого сложного слова.
Слово "железнодорожный" пишется слитно как сложное прилагательное, образованное от слов с подчинительной связью.
Примеры
Город Орша - это крупный железнодорожный узел.
Железнодорожный рабочий совершает обход путей.