Приведенный глагол имеет две орфограммы:
1) безударная гласная в корне слова;
2) приставка пре- или при-.
Первая орфограмма легко проверяется: достаточно изменить заданное слово таким образом, чтобы безударная гласная оказалась в сильной позиции (под ударением).
Рассматриваемый глагол относится к совершенному виду, и у него есть видовая пара -- глагол несовершенного вида пристЁгивать, в котором чётко произносится проверяемая гласная.
Он-то и есть проверочное слово, впрочем, как и форма страдательного причастия пристЁгнутый.
Вторая орфограмма предполагает выбор приставки, что в данном случае -- очень простая задача: здесь приставка придает глаголу значение присоединения. Например, "пристегнуть что-то к костюму" означает прикрепление, присоединение, а это значение вносит в слова именно приставка при-.
Итак, правильно писать заданное слово -- пристегнуть.