Правописание заданного глагола объяснить очень легко и просто, если обратиться к морфемному составу его.
Собственно говоря, вырисовывается короткая словообразовательная цепочка, точнее даже, словообразовательная пара : длин/а => у + длин + я (ть).
Эта цепочка наглядно свидетельствует, что глагол удлинять, как и глагол несовершенного вида удлинить,
образован от существительного длина, которое пишется с одним н в корне. К нему (к корню) прибавляется
приставка и глагольный суффикс -я- (или -и-), то есть образован приставочно -суффиксальным способом.
Никаких оснований для удвоения "н" просто нет.
Из-за сильных дождей жителям деревни приходится удлинять свой путь к магазину.