Дословно я все правила по русскому языку не запомнила со школьной скамьи, но что касается "ци" тут точно помню - после ц следует писать И. Есть слова исключения, в которых пишется буква Ы - цыпленок, цыган, цыпочки (цыпочка), цыкнуть, цыц. Рассудить логически, раз слово циркачом не входит в исключения, значит следует писать после Ц букву И.
Для большей уверенности нужно найти коренное слово, от которого произошло это - циркачом. Циркачом - цирк, проверочное слово цирк, а цирк пишется только через И.
В слове циркачом можно допустить две ошибки - цИркачОм, под сомнением И и О. Помню нас учитель муштровал на тему - ставь ударение, проверяй ударением какую букву писать. ударение падает на букву после Ц, значит там должна быть следующая О. Без ударения должна идти буква Е, но даже если прочесть циркаЧЕМ, звучит очень странно, неправдоподобно. Если писать Е, а подразумевать Ё, тогда напрашивается вывод, что без ударения нужно писать букву Ё, но если проверить таким образом еще несколько подобных слов, опять выходит чепуха - товарищЁм, например. Слова товарищЁм не бывает, бывает товарищЕм, с буквой Е.