Слово «разбудить» (напишем его сразу правильно) – это глагол-инфинитив. Но независимо от части речи, правила для написания приставок «без-» и «бес-» - едины.
Приставка «бес-» ставится в словах, когда она стоит перед глухими со-гласными (К, П, С, Т, Ф, Ц, Ч, Ш, Щ), например: «бессрочный», «бесконтактный», «бесшнуровой».
Приставка «без-» ставиться в словах, когда она стоит перед гласными или звонкими согласными (Б, В, Г, Д, Ж, З. Л, М, Н. Р), например: «безоблачный», «бездарный», «безжалостный».
В нашем примере приставка «без-» стоит перед звонкой согласной «б», поэтому правильное написание глагола – «разбудить».