Нарасхват продавались спелые помидоры на осенней ярмарке.
Нарасхват или "на расхват"?
Чтобы определить, как правильно пишется слово "нарасхват" слитно или раздельно с предлогом-приставкой "на", определю часть речи, к которой оно принадлежит.
Продавались как? нарасхват.
Это слово зависит от глагола, обозначает признак действия и отвечает на обстоятельственный вопрос. Значит, мы имеем дело со словом самостоятельной части речи - наречием, производным от существительного:
расхватать - расхват - нарасхват.
С приставкой на- наречие "нарасхват" правильно пишется слитно, как и подобные слова:
навзрыд, наотмашь, наискосок, наизусть, навзничь.