Врач - имя существительное одушевлённое, нарицательное, мужского рода, 2-го склонения, в единственном числе, в именительном падеже.
Правило русского языка гласит о том, что в существительных мужского рода 2-го склонения, имеющих форму единственного числа именительного падежа, мягкий знак после шипящих не пишется. Напрмер, врач, грач, чиж, стриж, меч, мяч, плач, калач, пейзаж, ёж, ландыш, карандаш, ключ.
А на конце существительных женского рода 3-го склонения, имеющих форму единственного числа именительного падежа, мягкий знак после шипящих пишется. Например, печь, дочь, рожь, мышь, ночь, вещь, помощь, мелочь, тишь, пустошь, речь.
Теперь можно сделать вывод, что слово "врач" пишется без мягкого знака.