Чтобы правильно написать заданное слово, необходимо определить часть речи, к которой принадлежит это слово,
а затем выделить в нем корень. Вот и сделаем это действо.
Хозяйка купила (ЧТО?) БОЧОНОЧЕК меда.
Отвечающее на вопрос ЧТО? и обозначающее предмет слово бочонок -- это существительное.
Корень этого существительного -- боч-, суффиксы -оноч- (произошло чередование в суффиксе -онок-) и -ек- (для полноты морфемного разбора упомянем, что окончание нулевое).
Правописание суффикса -онок- зависит от того, после какого звука стоит этот суффикс, то есть каким звуком кончается корень слова.
А корень заканчивается на согласный ч.
Теперь вспомним правило: если перед суффиксом оказывается твёрдый согласный или согласный ч,
то пишется суффикс -ОНОК-, например: **медвежонок, мышонок, грачонок, скворчонок*.
Во всех остальных случаях (после мягких согласных, кроме ч) пишется суффикс -ЁНОК-, например: львенок, страусенок, утенок.
В слове бочонок, а также в образованном от него заданном слове бочоночек корень оканчивается на согласную ч, за которой идет суффикс.
В соответствии с вышеуказанным правилом правильно писать БОЧОНОЧЕК.